Exercice 22

Décomposer 100 en produit de facteurs premiers.

Réponse

\[100 = 2^{2} \times 5^{2}\]

Corrigé détaillé

Introduction

Dans cet exercice, nous allons décomposer le nombre 100 en un produit de facteurs premiers. Un facteur premier est un nombre premier qui divise exactement le nombre considéré, sans laisser de reste.

Étape 1 : Diviser par le plus petit nombre premier

1. On commence par le plus petit nombre premier, soit 2.
   
2. Vérifions si 2 divise 100 :
   • 100 est pair, donc divisible par 2.
3. Partageons 100 en deux parts égales : \[ 100 = 2 \times 50 \]
4. Nous retenons le facteur 2 et poursuivons avec 50.

Étape 2 : Répéter la division par 2

1. Regardons si 2 divise encore 50 : 50 est pair.
2. Partageons 50 : \[ 50 = 2 \times 25 \]
3. Nous ajoutons un second facteur 2 et retenons maintenant 25.

Étape 3 : Passer au facteur premier suivant

1. Le nombre 25 n’est plus divisible par 2 car il est impair.
2. On passe au nombre premier suivant, soit 3.
   • 25 n’est pas divisible par 3 (la somme des chiffres n’est pas multiple de 3).
     
3. On passe au nombre premier suivant, soit 5.
4. Vérifions la division par 5 : 25 est multiple de 5.
5. Partageons : \[ 25 = 5 \times 5 \]
6. Nous obtenons deux facteurs 5.

Vérification de la décomposition

En regroupant tous les facteurs premiers trouvés, on obtient :

\[ 100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 = 2^{2} \times 5^{2} \]

Cette écriture montre que 100 est bien décomposé en un produit de facteurs premiers.

Conclusion

La décomposition en facteurs premiers de 100 est :

\[ 100 = 2^{2} \times 5^{2} \]