Exercice 28

Trouver le plus grand nombre premier inférieur à 100.

Réponse

\(97\)

Corrigé détaillé

Correction détaillée

1. Définition d’un nombre premier

Un nombre premier est un entier naturel supérieur à 1 qui n’admet comme diviseurs que 1 et lui-même. Autrement dit, il n’est pas possible de le diviser exactement par un autre entier compris entre 2 et ce nombre diminué de 1.

2. Recherche du plus grand nombre premier inférieur à 100

On cherche d’abord le plus grand entier strictement inférieur à 100, puis on vérifie s’il est premier. Si ce n’est pas le cas, on passe au nombre précédent.

2.1 Tester 99

• Critère de divisibilité par 3 : on additionne les chiffres de 99, soit 9 + 9 = 18. Comme 18 est divisible par 3, 99 l’est aussi.
• Conclusion : 99 n’est pas premier.

2.2 Tester 98

• Critère de divisibilité par 2 : 98 est pair (il se termine par 8).
• Conclusion : 98 n’est pas premier.

2.3 Tester 97

Pour prouver que 97 est premier, on vérifie qu’il n’est divisible par aucun entier autre que 1 et 97, en testant tous les diviseurs possibles jusqu’à 9. En effet, on remarque que : \[ 9^2 = 81 < 97 \quad\text{et}\quad 10^2 = 100 > 97 \] Il suffit donc de tester les diviseurs 2, 3, 5 et 7.

• Divisible par 2 ? Non, 97 est impair.
• Divisible par 3 ? On fait la somme des chiffres : 9 + 7 = 16. 16 n’est pas un multiple de 3.
• Divisible par 5 ? Non, un multiple de 5 doit se terminer par 0 ou 5.
• Divisible par 7 ? On peut comparer : 7 × 13 = 91 et 7 × 14 = 98. 97 ne figure pas parmi ces produits.

Aucun de ces tests ne conclut à une division exacte, donc 97 n’a pas d’autre diviseur que 1 et lui-même.

3. Conclusion

Le plus grand nombre premier strictement inférieur à 100 est

\[ 97 \]