Exercice 14
Trouver le plus petit nombre premier supérieur à 50.
Réponse
\(53\)
Corrigé détaillé
Définition d’un nombre
premier
Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui
n’a que deux diviseurs entiers positifs : 1 et lui-même.
Recherche du plus
petit nombre premier > 50
Nous allons examiner les entiers consécutifs à partir de 51 et tester
s’ils sont premiers.
Test de 51
- On vérifie la divisibilité par 3 :
- La somme des chiffres de 51 est 5 + 1 = 6.
- Comme 6 est divisible par 3, alors 51 l’est aussi.
- Conclusion : 51 = 3 × 17, ce n’est pas un nombre premier.
Test de 52
- 52 est un nombre pair (il se termine par 2).
- Tout nombre pair supérieur à 2 est divisible par 2.
- Conclusion : 52 = 2 × 26, ce n’est pas un nombre premier.
Test de 53
Pour savoir si 53 est premier, on vérifie la divisibilité par les
petits nombres premiers 2, 3, 5 et 7 :
- Par 2 : 53 n’est pas pair.
- Par 3 : on additionne les chiffres, 5 + 3 = 8, qui n’est pas
multiple de 3.
- Par 5 : un nombre fini en 0 ou 5 est divisible par 5, 53 ne l’est
pas.
- Par 7 : on sait que 7 × 7 = 49 < 53 < 56 = 7 × 8. On calcule
53 − 49 = 4, donc 53 n’est pas divisible par 7.
Aucun des tests ne donne de diviseur, donc 53 est premier.
Conclusion
Le plus petit nombre premier strictement supérieur à 50 est
\[53.\]