Décomposer 144 en produit de facteurs premiers.
\[2^4 \times 3^2\]
Dans cet exercice, l’objectif est de décomposer le nombre 144 en un produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique et s’appelle la décomposition en facteurs premiers.
Le plus petit nombre premier est 2. Comme 144 est pair, il est divisible par 2 :
\[144 = 2 \times 72\]
On regarde maintenant 72, qui est aussi pair :
Après ces quatre divisions par 2, il reste 9 et on a extrait quatre fois le facteur 2.
Le nombre 9 n’est plus divisible par 2, on teste le facteur premier suivant, qui est 3 :
Ici, 3 est premier et le quotient obtenu est encore 3, qui est un nombre premier.
En regroupant tous les facteurs premiers trouvés, on obtient :
\[144 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3\]
En utilisant les puissances pour simplifier l’écriture :
\[144 = 2^{4} \times 3^{2}\]
Pour vérifier, on calcule :
Cela confirme que la décomposition est correcte.
La décomposition en facteurs premiers est unique (théorème fondamental de l’arithmétique). Cette technique est très utile pour simplifier des fractions, calculer des plus petits communs multiples ou des plus grands communs diviseurs.