Écrire la décomposition en facteurs premiers de 72.
\(72 = 2^3 \times 3^2\)
L’objectif est de trouver la décomposition en facteurs premiers de 72, c’est-à-dire d’exprimer 72 comme un produit de nombres premiers.
Tout entier naturel supérieur à 1 admet une décomposition unique en facteurs premiers (à l’ordre près). Notre tâche est donc de décomposer 72 en un produit de nombres premiers (2, 3, 5, 7, etc.).
On divise 72 par 2, le plus petit nombre premier : \[ 72 \div 2 = 36 \] Donc 2 est un facteur premier de 72. On retient 2 et on continue avec 36.
On divise à nouveau 36 par 2 : \[ 36 \div 2 = 18 \] On retient un deuxième 2 et on continue avec 18.
On divise encore 18 par 2 : \[ 18 \div 2 = 9 \] On retient un troisième 2 et on continue avec 9.
Le nombre restant est 9. On ne peut plus le diviser par 2 (9 n’est pas pair). On passe donc au nombre premier suivant, qui est 3.
On divise 9 par 3 : \[ 9 \div 3 = 3 \] On retient un 3 et on continue avec 3.
On divise de nouveau 3 par 3 : \[ 3 \div 3 = 1 \] On retient un deuxième 3 et on obtient 1. À ce stade, la décomposition est terminée.
En regroupant les facteurs premiers obtenus (trois fois 2 et deux fois 3), on écrit : \[ 72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \] Puis, en utilisant les puissances pour indiquer la répétition des facteurs : \[ 72 = 2^3 \times 3^2 \]
Cette écriture est la décomposition en facteurs premiers de 72.