Exercice 20
Décomposer 90 en produit de facteurs premiers.
Réponse
\[90 = 2 \times 3^2 \times 5\]
Corrigé détaillé
Contexte et objectif
Nous voulons décomposer le nombre 90 en un produit de nombres
premiers. Cette décomposition est unique selon le théorème fondamental
de l’arithmétique.
Rappels utiles
- Un nombre premier n’est divisible que par 1 et par
lui-même.
- Le théorème fondamental de l’arithmétique affirme
que tout entier supérieur à 1 se décompose de manière unique (à l’ordre
près) en facteurs premiers.
Étapes de la décomposition
1. Divisibilité par 2
- 90 est pair, donc divisible par 2.
- On écrit : \[90 = 2 \times
45.\]
2. Divisibilité par 3
- Pour tester la divisibilité par 3, on additionne les chiffres de 45
(4 + 5 = 9), et 9 est un multiple de 3. Donc 45 est divisible par
3.
- On divise : \[45 \div 3 = 15,\] ce
qui donne \[45 = 3 \times 15.\]
- On reporte : \[90 = 2 \times 3 \times
15.\]
3. Nouvelle divisibilité par 3
- On teste à nouveau le nombre 15 : la somme de ses chiffres est 1 + 5
= 6, multiple de 3.
- On divise : \[15 \div 3 = 5,\]
donc \[15 = 3 \times 5.\]
- Ainsi \[90 = 2 \times 3 \times 3 \times
5.\]
4. Vérification que 5 est
premier
- Le nombre 5 n’a pas d’autre diviseur que 1 et lui-même, donc c’est
un nombre premier.
Conclusion
En regroupant les facteurs identiques, on obtient la décomposition
finale :
\[90 = 2 \times 3^2 \times 5.\]
Cette écriture montre le produit de facteurs premiers de 90, conforme
au théorème fondamental de l’arithmétique.