Exercice 26

Combien y a-t-il de nombres premiers compris entre 1 et 100 ?

Réponse

\(25\)

Corrigé détaillé

Introduction

Dans cet exercice, on cherche à déterminer combien de nombres premiers se trouvent entre 1 et 100.

Définition d’un nombre premier

Un nombre premier est un entier strictement supérieur à 1 qui n’admet que deux diviseurs : 1 et lui-même.

Méthode du crible d’Ératosthène

Pour repérer tous les nombres premiers jusqu’à 100, on utilise le crible d’Ératosthène :

1. On écrit tous les entiers de 2 à 100.
2. On prend le plus petit nombre non rayé, c’est un nombre premier.
3. On raye tous les multiples de ce nombre premier.
4. On répète l’opération avec le nombre non rayé suivant, jusqu’à ce que tous les nombres aient été considérés.

Étapes détaillées

1. Première étape avec 2 :
   • 2 est premier.
   • On raye tous ses multiples : 4, 6, 8, 10, …, 100.
2. Deuxième étape avec 3 :
   • Le plus petit nombre non rayé maintenant est 3, qui est premier.
   • On raye tous ses multiples : 6, 9, 12, 15, …, 99.
3. Étape suivante avec 5 :
   • Le plus petit nombre non rayé est 5, qui est premier.
   • On raye tous ses multiples : 10, 15, 20, …, 100.
4. Continuer avec 7, 11, 13, 17, …
   • À chaque fois, on prend le plus petit entier non rayé, on le reconnaît comme premier, puis on raye tous ses multiples.
   • Les nombres premiers que l’on découvre successivement sont : \[2,\;3,\;5,\;7,\;11,\;13,\;17,\;19,\;23,\;29,\;31,\;37,\;41,\;43,\;47,\;53,\;59,\;61,\;67,\;71,\;73,\;79,\;83,\;89,\;97.\]

Comptage final

En fin de procédure, on compte tous les nombres premiers obtenus dans la liste ci-dessus. On trouve exactement 25 nombres premiers entre 1 et 100.

Conclusion

Le nombre de nombres premiers compris entre 1 et 100 est 25.