Exercice 21

Deux nombres premiers dont la somme vaut 24. Donner tous les couples possibles.

Réponse

\((5,19),\;(7,17),\;(11,13)\)

Corrigé détaillé

Présentation de l’exercice

Nous cherchons tous les couples de nombres premiers dont la somme vaut 24.

Définition

Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui n’admet comme diviseurs que 1 et lui-même.

Étape 1 : lister les nombres premiers pertinents

Pour que la somme de deux nombres premiers soit 24, chacun des deux nombres doit être inférieur ou égal à 23. Les nombres premiers ≤ 23 sont : \[ 2,\;3,\;5,\;7,\;11,\;13,\;17,\;19,\;23 \]

Étape 2 : tester les paires

Nous allons examiner systématiquement chaque nombre premier \(p\) et chercher si \(24-p\) est aussi premier.

• Si \(p=2\), alors \(24-2=22\). Or 22 n’est pas premier (22 = 2×11). Pas de couple.
• Si \(p=3\), alors \(24-3=21\). 21 n’est pas premier (21 = 3×7). Pas de couple.
• Si \(p=5\), alors \(24-5=19\). 19 est bien premier. On obtient le couple \((5,19)\).
• Si \(p=7\), alors \(24-7=17\). 17 est premier. On obtient le couple \((7,17)\).
• Si \(p=11\), alors \(24-11=13\). 13 est premier. On obtient le couple \((11,13)\).
• Si \(p=13\), alors \(24-13=11\). Mais cela redonne le couple déjà trouvé \((11,13)\).
• Pour \(p=17,\;19,\;23\), les sommes respectives redonnent les mêmes couples ou aboutissent à des nombres non premiers.

Étape 3 : conclusion

Les trois couples de nombres premiers dont la somme est 24 sont : \[ (5,19),\quad(7,17),\quad(11,13). \]

Chaque couple est cité une seule fois, sans tenir compte de l’ordre, car \((a,b)\) et \((b,a)\) représentent le même ensemble de deux nombres.

---

Réponse finale : \((5,19),\;(7,17),\;(11,13)\).