Exercice 32

Déterminer tous les diviseurs de 36 en utilisant sa décomposition en facteurs premiers.

Réponse

\(\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}\)

Corrigé détaillé

Décomposition en facteurs premiers

Pour trouver les diviseurs de 36, on commence par écrire 36 comme produit de nombres premiers. C’est une application du théorème fondamental de l’arithmétique.

1. Divisons par 2 : 36 ÷ 2 = 18
2. Divisons encore par 2 : 18 ÷ 2 = 9
3. 9 n’est plus divisible par 2, passons à 3 : 9 ÷ 3 = 3
4. Divisons encore par 3 : 3 ÷ 3 = 1

Ainsi, on a obtenu uniquement des diviseurs premiers et enfin 1. On peut donc écrire :

\[ 36 = 2^2 \times 3^2. \]

---

Principe pour déterminer tous les diviseurs

Si un nombre s’écrit

\[ N = p^a \times q^b \]

avec des nombres premiers \(p\) et \(q\), alors tout diviseur de \(N\) s’obtient en choisissant un exposant \(i\) pour \(p\) et \(j\) pour \(q\) tels que :

\[ 0 \le i \le a \quad\text{et}\quad 0 \le j \le b. \]

Le diviseur correspondant est alors :

\[ d = p^i \times q^j. \]

---

Application à 36

Ici, \(a = 2\) et \(b = 2\). Les exposants possibles sont 0, 1 ou 2 pour chacun des deux facteurs.

On énumère toutes les paires \((i,j)\) :

• \((0,0)\) : \(2^0\times3^0 = 1\)
• \((1,0)\) : \(2^1\times3^0 = 2\)
• \((2,0)\) : \(2^2\times3^0 = 4\)
• \((0,1)\) : \(2^0\times3^1 = 3\)
• \((1,1)\) : \(2^1\times3^1 = 6\)
• \((2,1)\) : \(2^2\times3^1 = 12\)
• \((0,2)\) : \(2^0\times3^2 = 9\)
• \((1,2)\) : \(2^1\times3^2 = 18\)
• \((2,2)\) : \(2^2\times3^2 = 36\)

On obtient donc exactement neuf diviseurs.

---

Résultat final

L’ensemble des diviseurs de 36, classés en ordre croissant, est :

\[\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}.\]