Exercice 3

Lister tous les nombres premiers inférieurs à 20.

Réponse

\[2,\;3,\;5,\;7,\;11,\;13,\;17,\;19\]

Corrigé détaillé

Définition d’un nombre premier

Un nombre premier est un entier naturel strictement supérieur à 1 qui n’a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Autrement dit, pour un nombre \(n\), si l’on ne trouve aucun diviseur \(d\) (avec \(1 < d < n\)), alors \(n\) est premier.

Méthode de vérification

Pour chaque entier \(n\) de 2 à 19, on vérifie s’il admet un diviseur autre que 1 et lui-même, en testant la divisibilité par les entiers suivants : - Pour \(n\le7\), on teste \(2\) et \(3\). - Pour \(n\ge8\), on teste \(2,3,5,7,11,13,17\) mais on s’arrête dès qu’on trouve un diviseur.

Étapes détaillées

1. \(n=2\)
   • Diviseurs possibles : 1 et 2.
   • Aucun autre entier ne divise 2, donc 2 est premier.
2. \(n=3\)
   • Diviseurs possibles : 1 et 3.
   • Aucun autre entier ne divise 3, donc 3 est premier.
3. \(n=4\)
   • Test de divisibilité par 2 : \(4 ÷ 2 = 2\), c’est un entier.
   • 4 admet un diviseur autre que 1 et lui-même, donc 4 n’est pas premier.
4. \(n=5\)
   • Tests par 2 et 3 : ni 2 ni 3 ne divisent 5.
   • 5 n’a pas de diviseur non trivial, donc 5 est premier.
5. \(n=6\)
   • 6 ÷ 2 = 3, 2 est un diviseur non trivial.
   • 6 n’est pas premier.
6. \(n=7\)
   • Tests par 2 et 3 : ni 2 ni 3 ne divisent 7.
   • 7 est premier.
7. \(n=8\)
   • 8 ÷ 2 = 4, 2 divise 8.
   • 8 n’est pas premier.
8. \(n=9\)
   • 9 ÷ 3 = 3, 3 divise 9.
   • 9 n’est pas premier.
9. \(n=10\)
   • 10 ÷ 2 = 5, 2 divise 10.
   • 10 n’est pas premier.
10. \(n=11\)
    • Tests par 2, 3 et 5 : aucun ne divise 11.
    • 11 est premier.
11. \(n=12\)
    • 12 ÷ 2 = 6, 2 divise 12.
    • 12 n’est pas premier.
12. \(n=13\)
    • Tests par 2, 3 et 5 : aucun ne divise 13.
    • 13 est premier.
13. \(n=14\)
    • 14 ÷ 2 = 7, 2 divise 14.
    • 14 n’est pas premier.
14. \(n=15\)
    • 15 ÷ 3 = 5, 3 divise 15.
    • 15 n’est pas premier.
15. \(n=16\)
    • 16 ÷ 2 = 8, 2 divise 16.
    • 16 n’est pas premier.
16. \(n=17\)
    • Tests par 2, 3, 5 et 7 : aucun ne divise 17.
    • 17 est premier.
17. \(n=18\)
    • 18 ÷ 2 = 9, 2 divise 18.
    • 18 n’est pas premier.
18. \(n=19\)
    • Tests par 2, 3, 5 et 7 : aucun ne divise 19.
    • 19 est premier.

Résultat final

Les nombres premiers inférieurs à 20 sont :

\[2,\;3,\;5,\;7,\;11,\;13,\;17,\;19\]