Exercice 19

Le nombre 97 est-il premier ?

Réponse

\(97\) est un nombre premier.

Corrigé détaillé

Définition d’un nombre premier

Un nombre entier supérieur à 1 est dit premier s’il n’a pas d’autres diviseurs entiers que 1 et lui-même.

Méthode de vérification

Pour savoir si 97 est premier, on cherche s’il existe un diviseur entier d, avec 2 ≤ d < 97, qui divise 97 sans reste. Pour limiter les essais, on utilise le fait suivant : si d divise 97, alors soit d ≤ √97, soit son complément 97 ÷ d ≤ √97. On n’a donc besoin de tester que les entiers d tels que d² ≤ 97.

1. Déterminer jusqu’où tester : on cherche le plus grand entier d tel que d² ≤ 97.

   • 9² = 81 ≤ 97
   • 10² = 100 > 97 Donc on teste les diviseurs entiers d allant de 2 à 9.

2. Ne tester que les nombres premiers parmi ces entiers : 2, 3, 5 et 7.

3. Vérifier la divisibilité :

   • Par 2 : 97 est impair → reste 1, donc 2 ne divise pas 97.
   • Par 3 : somme des chiffres de 97 = 9 + 7 = 16, qui n’est pas multiple de 3 → reste 1.
   • Par 5 : un nombre se termine par 0 ou 5 pour être divisible par 5. Ici 97 ne se termine ni par 0 ni par 5.
   • Par 7 : on compare 7×13 = 91 et 7×14 = 98. 97 n’est pas égal à 91 ni à 98 → reste 6.

Aucun de ces diviseurs ne divise 97 sans reste.

Conclusion

Comme aucun diviseur entier non trivial n’a été trouvé, 97 n’admet pas d’autre diviseur que 1 et lui-même. Par définition, 97 est un nombre premier.