Exercice 15

Décomposer 48 en produit de facteurs premiers.

Réponse

\(2^4 \times 3\)

Corrigé détaillé

Introduction

Dans cet exercice, nous allons décomposer le nombre 48 en produit de facteurs premiers. Selon le théorème fondamental de l’arithmétique, tout entier supérieur à 1 peut s’écrire de façon unique (à l’ordre près) comme produit de nombres premiers.

Étape 1 : Tester la divisibilité par 2

1. Le nombre 48 est pair, donc divisible par 2.

2. On effectue la division :

   \[48 = 2 \times 24.\]

   On note 2 comme premier facteur et on poursuit avec 24.

Étape 2 : Répéter avec le quotient

1. Le nouvel entier 24 est encore pair.

2. On divise à nouveau par 2 :

   \[24 = 2 \times 12.\]

   On conserve un autre 2 et on travaille maintenant avec 12.

3. Le nombre 12 est pair. On répète :

   \[12 = 2 \times 6.\]

4. Enfin, 6 est aussi pair :

   \[6 = 2 \times 3.\]

Étape 3 : Vérifier le dernier quotient

Le dernier quotient est 3, qui est un nombre premier. Nous ne pouvons plus diviser 3 par un nombre premier plus petit que lui sans obtenir un résultat non entier.

Conclusion

En regroupant tous les facteurs premiers trouvés, on obtient :

\[ 48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3. \]

Pour simplifier l’écriture, on utilise la notation des puissances :

\[ 48 = 2^{4} \times 3. \]

Ainsi, la décomposition en facteurs premiers de 48 est clairement établie.