Exercice 11

Décomposer 30 en produit de facteurs premiers.

Réponse

\(30 = 2 \times 3 \times 5\)

Corrigé détaillé

Introduction

Le théorème fondamental de l’arithmétique affirme que tout entier supérieur à 1 se décompose de façon unique (à l’ordre des facteurs près) en produit de nombres premiers. Nous allons appliquer cette méthode à l’entier 30.

Méthode de décomposition

Étape 1 : Tester la divisibilité par 2

1. On commence par le plus petit nombre premier, 2.

2. Comme 30 est pair, il est divisible par 2.

3. On calcule

   \[30 \div 2 = 15.\]

4. On retient le facteur premier 2 et on continue avec le quotient 15.

Étape 2 : Tester la divisibilité par 3

1. On passe au nombre premier suivant, 3.

2. Pour tester la divisibilité de 15 par 3, on peut utiliser la règle : la somme des chiffres de 15 est 1 + 5 = 6, qui est divisible par 3. Donc 15 l’est aussi.

3. On effectue

   \[15 \div 3 = 5.\]

4. On retient le facteur premier 3 et on poursuit avec le quotient 5.

Étape 3 : Tester la divisibilité par les nombres premiers suivants

1. Le quotient obtenu est 5.
2. On vérifie si 5 est primo, c’est-à-dire qu’il n’admet pas d’autre diviseur entier que 1 et lui-même.
3. Comme 5 est un nombre premier, on l’inclut directement dans la décomposition et on s’arrête.

Conclusion

En combinant tous les facteurs premiers trouvés, on obtient la décomposition de 30 en produit de nombres premiers :

\[30 = 2 \times 3 \times 5.\]

Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près, conformément au théorème fondamental de l’arithmétique.