Exercice 8

Le nombre 29 est-il premier ?

Réponse

\(29\) est un nombre premier.

Corrigé détaillé

Définition d’un nombre premier

Un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs positifs : \(1\) et lui-même.

Stratégie de vérification pour \(29\)

Pour savoir si \(29\) est premier, on vérifie qu’aucun entier autre que \(1\) et \(29\) ne le divise.

Étape 1 : Vérification par les petits diviseurs

• Par \(2\) : \(29\) est impair, donc non divisible par \(2\).
• Par \(3\) : la somme de ses chiffres est \(2+9\), soit \(11\). Comme \(11\) n’est pas multiple de \(3\), \(29\) n’est pas divisible par \(3\).
• Par \(5\) : le dernier chiffre de \(29\) n’est ni \(0\) ni \(5\), donc \(29\) n’est pas divisible par \(5\).

Étape 2 : Limitation de la vérification

Il suffit de tester les diviseurs jusqu’au moment où leur produit par eux-mêmes dépasse \(29\). Le produit de \(6\) par lui-même donne \(36\), un nombre plus grand que \(29\). Au-delà de \(6\), on retrouverait des diviseurs déjà testés.

Conclusion

Aucun entier entre \(2\) et \(6\) ne divise \(29\). Ainsi, \(29\) possède uniquement \(1\) et lui-même comme diviseurs. Par définition, \(29\) est un nombre premier.