Exercice 30

Un nombre a pour décomposition en facteurs premiers \(2^3 \times 3^2 \times 5\). Quel est ce nombre ?

Réponse

\(360\)

Corrigé détaillé

Comprendre l’énoncé

L’énoncé nous donne la décomposition en facteurs premiers d’un nombre :

\[ 2^3 \times 3^2 \times 5 \]

La décomposition en facteurs premiers signifie qu’on exprime un nombre comme un produit de puissances de nombres premiers (2, 3, 5, 7, …). Ici, les facteurs premiers sont 2, 3 et 5, avec des exposants 3, 2 et 1 respectivement.

Rappel des propriétés utilisées

Les puissances

• Pour un entier \(a\) et un exposant naturel \(n\), \(a^n\) signifie que l’on multiplie \(a\) par lui-même \(n\) fois.
• Exemple : \(2^3 = 2 \times 2 \times 2\).

La multiplication

• La multiplication est associative et commutative, ce qui signifie qu’on peut multiplier les facteurs dans l’ordre que l’on veut.

Étapes de calcul

1. Calculer \(2^3\)

\[ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \]

2. Calculer \(3^2\)

\[ 3^2 = 3 \times 3 = 9 \]

3. Multiplier les résultats par 5

Nous avons maintenant : \[ 2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 \]

• D’abord, multiplier \(8\) et \(9\) : \[ 8 \times 9 = 72 \]
• Ensuite, multiplier par \(5\) : \[ 72 \times 5 = 360 \]

Conclusion

Le nombre cherché, dont la décomposition en facteurs premiers est \(2^3 \times 3^2 \times 5\), est donc :

\[ 360 \]