Exercice 27

Écrire la décomposition en facteurs premiers de 180.

Réponse

\(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5\)

Corrigé détaillé

Présentation de l’exercice

Nous souhaitons décomposer le nombre 180 en un produit de nombres premiers. C’est une application du théorème fondamental de l’arithmétique, qui affirme qu’un entier supérieur à 1 s’exprime de façon unique (à l’ordre des facteurs près) comme produit de nombres premiers.

1. Vérifier la divisibilité par 2

• Le nombre 180 est pair, donc divisible par 2.
  
• En divisant, on obtient :
  \[ 180 \div 2 = 90 \]
• On retient le facteur 2 et on continue avec 90.

2. Diviser de nouveau par 2

• Le nombre 90 est encore pair, donc divisible par 2.
  
• En divisant :
  \[ 90 \div 2 = 45 \]
• On ajoute un deuxième facteur 2 et on poursuit avec 45.

3. Vérifier la divisibilité par 3

• Le nombre 45 est multiple de 3 (la somme de ses chiffres vaut 4 + 5 = 9, un multiple de 3).
  
• En divisant :
  \[ 45 \div 3 = 15 \]
• On conserve un facteur 3 et on travaille avec 15.

4. Diviser encore par 3

• Le nombre 15 est multiple de 3 (1 + 5 = 6, un multiple de 3).
  
• En divisant :
  \[ 15 \div 3 = 5 \]
• On garde un deuxième facteur 3 et on reste avec 5.

5. Diviser par 5

• Le nombre 5 est un nombre premier, donc divisible uniquement par lui-même.
  
• On termine la division :
  \[ 5 \div 5 = 1 \]
• On retient le facteur 5.

Regroupement des facteurs premiers

Nous avons extrait successivement les facteurs : - deux fois le nombre 2,
- deux fois le nombre 3,
- une fois le nombre 5.

En appliquant les puissances pour condenser les facteurs identiques, on obtient la décomposition en nombres premiers :

\[ 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \]

Cette écriture est unique et constitue la réponse finale.