Exercice 25

Un magasin reçoit une livraison de 1575 bouteilles d’eau. Elles sont regroupées en packs de 6 bouteilles. Combien de packs complets peut-on former ? Combien de bouteilles resteront ?

Réponse

On peut former \(262\) packs complets et il reste \(3\) bouteilles.

Corrigé détaillé

Correction détaillée

1. Comprendre l’énoncé

Un magasin reçoit 1575 bouteilles d’eau. Celles-ci sont regroupées par packs de 6 bouteilles. On cherche à savoir :

• Combien de packs complets de 6 bouteilles on peut former ?
• Combien de bouteilles restent après avoir constitué ces packs ?

2. Modélisation par la division Euclidienne

Pour répondre, on utilise la division Euclidienne :

Pour un nombre entier \(a\) et un entier positif \(b\), il existe des entiers uniques \(q\) (quotient) et \(r\) (reste) tels que \[ a = b \times q + r \quad\text{avec}\quad 0 \le r < b. \]

Ici, on pose : - \(a = 1575\) (nombre total de bouteilles) - \(b = 6\) (taille d’un pack) - \(q\) = nombre de packs complets - \(r\) = nombre de bouteilles restantes

3. Calcul pas à pas

1. On cherche d’abord un multiple simple de 6 proche de 1575. Par exemple, on teste :
   \(6 \times 200 = 1200\).
   Il reste alors \(1575 - 1200 = 375\).

2. On continue sur le reste :
   \(6 \times 60 = 360\).
   Il reste alors \(375 - 360 = 15\).

3. On affine encore :
   \(6 \times 2 = 12\).
   Il reste alors \(15 - 12 = 3\).

En additionnant les quotients partiels :
\(200 + 60 + 2 = 262\).
Le reste final est \(3\).

On a donc obtenu la division Euclidienne :

\[ 1575 = 6 \times 262 + 3 \]

4. Interprétation du résultat

• Le quotient \(q = 262\) correspond au nombre de packs complets qu’on peut former.
• Le reste \(r = 3\) correspond aux bouteilles qui ne peuvent pas entrer dans un pack complet.

Réponse : on peut constituer 262 packs de 6 bouteilles, et il restera 3 bouteilles.