Dans une compétition sportive, il y a 256 participants. À chaque tour, la moitié des participants est éliminée. Combien de tours faut-il pour déterminer le vainqueur ?
\(8\) tours
On commence avec 256 participants. À chaque tour, on élimine la moitié des concurrents. On cherche le nombre de tours nécessaires pour qu’il reste un seul participant, le vainqueur.
Si on note : - \(P_0 = 256\) le nombre initial de participants, - \(P_k\) le nombre de participants restant après \(k\) tours,
alors à chaque tour on divise par 2 :
\[ P_k = \frac{P_{k-1}}{2}. \]
On peut aussi écrire directement :
\[ P_k = \frac{256}{2^k}. \]
On veut trouver \(k\) tel que \(P_k = 1\). Ainsi :
\[ \frac{256}{2^k} = 1. \]
On sait que 256 peut s’écrire comme une puissance de 2 :
\[ 256 = 2^8. \]
On remplace dans l’équation :
\[ \frac{2^8}{2^k} = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad 2^{8-k} = 1. \]
Pour qu’une puissance de 2 soit égale à 1, l’exposant doit être 0 :
\[ 8 - k = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad k = 8. \]
Il faut donc 8 tours pour passer de 256 participants à 1 seul vainqueur.