Exercice 22
Calculer : \(567 \times 89\).
Réponse
\[50463\]
Corrigé détaillé
Explication détaillée de
la résolution
1. Présentation du problème
Nous voulons calculer le produit suivant :
\[
567 \times 89
\]
2.
Choix de la méthode : décomposition par la propriété distributive
Pour simplifier le calcul, nous utilisons la propriété distributive
:
\[
a \times (b + c)
= a \times b + a \times c.
\]
Ici, nous écrivons 89 sous la forme 80 + 9 :
\[
567 \times 89 = 567 \times (80 + 9).
\]
3. Calcul des deux produits
partiels
- Produit de 567 par 80 :
- D’abord, calculons \(567 \times
8\). On décompose 567 comme la somme de 500, 60 et 7 : \[
567 \times 8 = (500 + 60 + 7) \times 8
= 500\times 8 + 60\times 8 + 7\times 8.
\]
- Calcul intermédiaire : \[
500 \times 8 = 4000, \quad 60 \times 8 = 480, \quad 7 \times 8 = 56.
\]
- On additionne : \[
4000 + 480 + 56 = 4536.
\]
- Comme nous cherchons \(567 \times
80\), nous multiplions par 10 : \[
567 \times 80 = 4536 \times 10 = 45360.
\]
- Produit de 567 par 9 :
- Pour faciliter, on peut utiliser la relation \(a \times 9 = a \times (10 - 1) = 10a -
a\).
- Ici, \(a = 567\). On calcule :
\[
567 \times 10 = 5670, \quad 567 \times 1 = 567,
\] donc \[
567 \times 9 = 5670 - 567 = 5103.
\]
4. Addition des résultats
partiels
En utilisant la propriété distributive, on additionne les deux
produits partiels :
\[
567 \times 89
= 567 \times 80 + 567 \times 9
= 45360 + 5103.
\]
Effectuons l’addition :
\[
45360 + 5103 = 50463.
\]
5. Conclusion
Le résultat final du calcul est :
\[
567 \times 89 = 50463.
\]
Cette méthode par décomposition et utilisation de la distributivité
permet de ne pas se tromper et d’organiser clairement chaque étape.