Exercice 31

Calculer : \(8765 \times 234\).

Réponse

\[2051010\]

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Présentation de l’exercice

On souhaite calculer le produit de deux nombres entiers : 8765 et 234.

1. Décomposition de l’opération

On utilise que :

\[ 234 = 200 + 30 + 4 \]

et la propriété de distributivité de la multiplication sur l’addition :

\[ 8765 \times 234 = 8765 \times (200 + 30 + 4) = 8765\times200 + 8765\times30 + 8765\times4. \]

2. Calcul des produits partiels

1. 8765 × 4
   • On décompose 8765 en unités, dizaines, etc. :
     • 4 × 5 = 20 → on écrit 0, on retient 2
     • 4 × 6 = 24 + retenue 2 = 26 → on écrit 6, on retient 2
     • 4 × 7 = 28 + retenue 2 = 30 → on écrit 0, on retient 3
     • 4 × 8 = 32 + retenue 3 = 35 → on écrit 35
   • Résultat : \(8765 \times 4 = 35\,060.\)
2. 8765 × 30 (c’est 8765 × 3 puis × 10)
   • Calcul de 8765 × 3 :
     • 3 × 5 = 15 → on écrit 5, on retient 1
     • 3 × 6 = 18 + retenue 1 = 19 → on écrit 9, on retient 1
     • 3 × 7 = 21 + retenue 1 = 22 → on écrit 2, on retient 2
     • 3 × 8 = 24 + retenue 2 = 26 → on écrit 26
   • On obtient 8765 × 3 = 26 295. En multipliant par 10, on ajoute un zéro à droite : \(8765 \times 30 = 262\,950.\)
3. 8765 × 200 (c’est 8765 × 2 puis × 100)
   • Calcul de 8765 × 2 :
     • 2 × 5 = 10 → on écrit 0, on retient 1
     • 2 × 6 = 12 + retenue 1 = 13 → on écrit 3, on retient 1
     • 2 × 7 = 14 + retenue 1 = 15 → on écrit 5, on retient 1
     • 2 × 8 = 16 + retenue 1 = 17 → on écrit 17
   • On obtient 8765 × 2 = 17 530. En multipliant par 100, on ajoute deux zéros : \(8765 \times 200 = 1\,753\,000.\)

3. Somme des produits partiels

On additionne maintenant les trois résultats :

\[ 8765 \times 234 = 1\,753\,000 \ \quad\; +\; 262\,950 \ \quad\; +\; 35\,060 \ = 2\,051\,010. \]

Conclusion

Le produit de 8765 par 234 est

\[ 2\,051\,010. \]

Cette méthode montre comment décomposer une multiplication complexe en opérations plus simples et assembler les résultats partiels pour obtenir la solution finale.