Exercice 14

Calculer : \(\frac{2}{3} + \frac{3}{4}\).

Réponse

\(\frac{17}{12}\)

Corrigé détaillé

Correction détaillée

1. Comprendre l’énoncé

L’objectif est de calculer la somme de deux fractions :

\[ \frac{2}{3} + \frac{3}{4}. \]

2. Trouver un dénominateur commun

Pour additionner des fractions, il faut qu’elles aient le même dénominateur. On cherche le plus petit multiple commun (PPCM) de 3 et 4 : - Multiples de 3 : 3, 6, 9, 12, 15, … - Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, …

Le plus petit multiple commun est 12. C’est notre dénominateur commun.

3. Réécrire chaque fraction avec le dénominateur 12

• Pour passer de 3 à 12, on multiplie par 4. On multiplie donc le numérateur et le dénominateur de \(\tfrac{2}{3}\) par 4 :

  \[ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}. \]

• Pour passer de 4 à 12, on multiplie par 3. On multiplie le numérateur et le dénominateur de \(\tfrac{3}{4}\) par 3 :

  \[ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}. \]

4. Additionner les fractions

Maintenant que les deux fractions ont le même dénominateur, on peut additionner les numérateurs :

\[ \frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{8 + 9}{12} = \frac{17}{12}. \]

5. (Facultatif) Écrire sous forme de nombre mixte

On peut aussi exprimer \(\tfrac{17}{12}\) comme un nombre mixte :

• Diviser 17 par 12 donne 1 comme quotient et 5 comme reste.
• On obtient : \[ \frac{17}{12} = 1 \;\frac{5}{12}. \]

6. Vérification rapide

En décimal : - \(\tfrac{2}{3} \approx 0{,}6667\) - \(\tfrac{3}{4} = 0{,}75\) - Somme : \(0{,}6667 + 0{,}75 \approx 1{,}4167\)

Et \(\tfrac{17}{12} \approx 1{,}4167\). Le résultat est cohérent.

Conclusion :

\[ \frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{17}{12}. \]