Exercice 33

Calculer : \(\frac{5}{6} \times \frac{9}{10} - \frac{1}{4} \div \frac{3}{8}\).

Réponse

\(\tfrac{1}{12}\)

Corrigé détaillé

Compréhension de l’énoncé

On doit calculer la différence entre le produit de deux fractions et le quotient de deux autres fractions :
\[ \frac{5}{6} \times \frac{9}{10} \;−\; \frac{1}{4} \div \frac{3}{8}.\]

Étape 1 : Calculer la multiplication de fractions

Rappel : pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

1. Écrire le produit : \[ \frac{5}{6} \times \frac{9}{10}. \]
2. Multiplier les numérateurs et les dénominateurs : \[ \frac{5 \times 9}{6 \times 10} = \frac{45}{60}. \]
3. Simplifier la fraction : 45 et 60 ont pour plus grand commun diviseur 15 : \[ \frac{45}{60} = \frac{45 \div 15}{60 \div 15} = \frac{3}{4}. \]

On obtient :
\[ \frac{5}{6} \times \frac{9}{10} = \frac{3}{4}.\]

Étape 2 : Calculer la division de fractions

Rappel : diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

1. Écrire la division : \[ \frac{1}{4} \div \frac{3}{8}. \]
2. Inverser la deuxième fraction et multiplier : \[ \frac{1}{4} \times \frac{8}{3}. \]
3. Multiplier numérateurs et dénominateurs : \[ \frac{1 \times 8}{4 \times 3} = \frac{8}{12}. \]
4. Simplifier : 8 et 12 ont pour plus grand commun diviseur 4 : \[ \frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}. \]

On obtient :
\[ \frac{1}{4} \div \frac{3}{8} = \frac{2}{3}.\]

Étape 3 : Soustraire les deux résultats

On reporte les résultats : \[ \frac{3}{4} - \frac{2}{3}. \]

Pour soustraire, on met sur un dénominateur commun (le plus petit multiple commun de 4 et 3 est 12) : 1. Transformer chaque fraction : \[ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}, \quad \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}. \] 2. Soustraire les numérateurs : \[ \frac{9}{12} - \frac{8}{12} = \frac{9 - 8}{12} = \frac{1}{12}. \]

Conclusion

Le résultat final de l’expression est : \[ \frac{5}{6} \times \frac{9}{10} - \frac{1}{4} \div \frac{3}{8} = \frac{1}{12}. \]

Bien joué ! Vous avez utilisé les méthodes de multiplication, de division et de soustraction de fractions.