Exercice 18

Simplifier la fraction \(\frac{48}{72}\).

Réponse

\(\frac{2}{3}\)

Corrigé détaillé

Présentation de l’exercice

L’objectif est de simplifier la fraction suivante :
\[ \frac{48}{72}. \]

Rappel de notion

Une fraction \(\frac{a}{b}\) est dite irréductible lorsque le plus grand commun diviseur (PGCD) de \(a\) et \(b\) vaut 1. Pour simplifier une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.

Méthode : l’algorithme d’Euclide pour calculer le PGCD

1. On pose \(a = 72\) et \(b = 48\).
   
2. On effectue la division euclidienne de \(a\) par \(b\) :
   \[ 72 = 48 \times 1 + 24. \] Le reste est 24.
3. On remplace \(a\) par \(48\) et \(b\) par le reste \(24\), puis on recommence :
   \[ 48 = 24 \times 2 + 0. \]
4. Comme le reste est maintenant zéro, l’algorithme s’arrête.
   Le PGCD de 72 et 48 est le dernier reste non nul, soit 24.

Étape 1 : diviser par le PGCD

On divise le numérateur et le dénominateur par 24 : \[ \frac{48}{72} = \frac{48 \div 24}{72 \div 24} = \frac{2}{3}. \]

Étape 2 : vérification de l’irréductibilité

• Calcul du PGCD de 2 et 3 :
  \[ 3 = 2 \times 1 + 1,\quad 2 = 1 \times 2 + 0. \] Le PGCD vaut 1.
  
• Comme il est égal à 1, la fraction \(\frac{2}{3}\) est irréductible.

Conclusion

La forme simplifiée de \(\frac{48}{72}\) est \(\frac{2}{3}\).