Exercice 23

Calculer : \(\frac{5}{6} + \frac{7}{9}\).

Réponse

\(\frac{29}{18}\)

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Étape 1 : Identifier les dénominateurs

Nous voulons additionner \[ \frac{5}{6} + \frac{7}{9}. \] Les dénominateurs sont 6 et 9, qui ne sont pas égaux. Pour additionner des fractions, il faut d’abord les écrire sur un même dénominateur.

Étape 2 : Calculer le plus petit dénominateur commun (PPCM)

• Décomposons 6 et 9 en facteurs premiers :
  • 6 = 2 × 3
  • 9 = 3 × 3
  
• Le PPCM prend chaque facteur premier au plus grand exposant :
  • facteur 2 au plus grand exposant : 2¹ = 2
  • facteur 3 au plus grand exposant : 3² = 9
  
• Le PPCM est donc 2 × 9 = 18.

Étape 3 : Réécrire chaque fraction sur le dénominateur 18

1. Pour \(\frac{5}{6}\) :
   • On multiplie numérateur et dénominateur par 3, car \(6 \times 3 = 18\).
   • \[\frac{5}{6} = \frac{5 \times 3}{6 \times 3} = \frac{15}{18}.\]
2. Pour \(\frac{7}{9}\) :
   • On multiplie numérateur et dénominateur par 2, car \(9 \times 2 = 18\).
   • \[\frac{7}{9} = \frac{7 \times 2}{9 \times 2} = \frac{14}{18}.\]

Étape 4 : Additionner les fractions

Maintenant que les deux fractions ont le même dénominateur, on additionne simplement les numérateurs : \[ \frac{15}{18} + \frac{14}{18} = \frac{15 + 14}{18} = \frac{29}{18}. \]

Étape 5 : Vérifier la simplification

• Le numérateur 29 est un nombre premier.
  
• Il n’y a pas de facteur commun entre 29 et 18 autres que 1.
  La fraction \(\frac{29}{18}\) est donc déjà irréductible.

Conclusion

Le résultat de l’addition est \[ \frac{5}{6} + \frac{7}{9} = \frac{29}{18}. \]