Simplifier au maximum : \(\frac{84}{126}\).
\(\tfrac{2}{3}\)
On cherche à simplifier au maximum la fraction suivante :
\[ \frac{84}{126} \]
Simplifier une fraction consiste à trouver un nombre par lequel on peut diviser le numérateur et le dénominateur sans changer la valeur de la fraction. Ce nombre est appelé le plus grand commun diviseur (PGCD) des deux nombres.
Pour chaque base (2, 3, 7), on prend l’exposant le plus petit qui apparaît dans les deux décompositions :
Donc : \[ \text{PGCD}(84,126) = 2^1 \times 3^1 \times 7^1 = 2 \times 3 \times 7 = 42. \]
On divise les deux termes de la fraction par 42 :
\[ \frac{84}{126} = \frac{84 \div 42}{126 \div 42} = \frac{2}{3}. \]
La fraction \(\frac{84}{126}\) se simplifie en \(\tfrac{2}{3}\).
Récapitulatif pédagogique : 1. On factorise chaque nombre en facteurs premiers. 2. On identifie les facteurs communs avec les plus petits exposants. 3. On calcule le PGCD puis on divise numérateur et dénominateur par ce PGCD. 4. On obtient la fraction simplifiée.