Un jardin circulaire a un rayon de 12 m. On veut créer une allée circulaire de 2 m de largeur tout autour. Quelle est l’aire de cette allée ?
\[52\pi\ \mathrm{m}^2\approx163{,}36\ \mathrm{m}^2\]
L’énoncé nous présente un jardin circulaire de rayon \(12\) m et une allée de largeur \(2\) m tout autour.
Calculer l’aire de l’allée seule, c’est-à-dire la surface comprise entre le grand cercle (jardin + allée) et le petit cercle (jardin seul).
L’aire d’un cercle de rayon \(r\) est donnée par :
\[ A = \pi \times r^2 \]
La largeur de l’allée est de \(2\) m tout autour du jardin, donc le rayon total est :
\[ r_{ext} = 12 + 2 = 14\ \text{m} \]
Avec \(r_{ext} = 14\) m :
\[ A_{ext} = \pi \times 14^2 = \pi \times 196 \]
Avec \(r_{int} = 12\) m :
\[ A_{int} = \pi \times 12^2 = \pi \times 144 \]
L’aire de l’allée est la différence entre les deux aires :
\[ A_{allée} = A_{ext} - A_{int} = \pi \times 196 - \pi \times 144 = \pi \times (196 - 144) = \pi \times 52 \]
En utilisant \(\pi \approx 3{,}1416\) :
\[ A_{allée} \approx 52 \times 3{,}1416 \approx 163{,}36\ \mathrm{m}^2 \]
L’aire de l’allée circulaire est de \(52\pi\ \mathrm{m}^2\), soit environ \(163{,}36\ \mathrm{m}^2\).