Exercice 27
Deux cercles ont des rayons de 3 cm et 5 cm. Comparer leurs
aires.
Réponse
\(A_1=9\pi\,\mathrm{cm}^2,\
A_2=25\pi\,\mathrm{cm}^2,\ \frac{A_2}{A_1}=\frac{25}{9}\)
Corrigé détaillé
Compréhension de l’énoncé
On dispose de deux cercles de rayons de 3 cm et 5 cm. L’objectif est
de comparer leurs aires.
L’aire d’un cercle de rayon \(r\)
est donnée par : \[
A = \pi r^2.
\]
Calcul de l’aire du premier
cercle
- Rayon \(r_1 = 3\) cm.
- Calcul de \(r_1^2\) : \[
r_1^2 = 3^2 = 9.
\]
- Aire \(A_1\) : \[
A_1 = \pi \times 9 = 9\pi\quad\text{(en cm}^2\text{)}.
\]
Calcul de l’aire du deuxième
cercle
- Rayon \(r_2 = 5\) cm.
- Calcul de \(r_2^2\) : \[
r_2^2 = 5^2 = 25.
\]
- Aire \(A_2\) : \[
A_2 = \pi \times 25 = 25\pi\quad\text{(en cm}^2\text{)}.
\]
Comparaison des aires
Pour comparer \(A_1\) et \(A_2\), on calcule leur rapport : \[
\frac{A_2}{A_1}
= \frac{25\pi}{9\pi}
= \frac{25}{9}.
\] Le cercle de rayon 5 cm a donc une aire \(\tfrac{25}{9}\) fois plus grande que celle
du cercle de rayon 3 cm.
Conclusion
- Aire du cercle de rayon 3 cm : \(9\pi\) cm²
- Aire du cercle de rayon 5 cm : \(25\pi\) cm²
- Rapport des aires : \(25:9\)