Calculer l’aire d’un triangle équilatéral de côté 8 cm. (Indice : calculer d’abord la hauteur avec Pythagore, sachant que la hauteur divise la base en deux parties égales)
\(16\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2\)
On considère un triangle équilatéral \(ABC\) de côté \(AB = BC = CA = 8\,\mathrm{cm}\). Pour calculer son aire, on commence par déterminer sa hauteur.
Soit \(H\) le pied de la hauteur issue du sommet \(C\) sur la base \(AB\). Dans un triangle équilatéral, la hauteur partage la base en deux segments de même longueur :
\[ AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4\,\mathrm{cm}. \]
De plus, l’angle \(CHB\) est droit (par définition de la hauteur).
Dans le triangle rectangle \(CHB\) :
\[ CH^2 + HB^2 = CB^2. \]
On remplace les longueurs connues :
\[ CH^2 + 4^2 = 8^2 \] \[ CH^2 + 16 = 64 \] \[ CH^2 = 48 \] \[ CH = \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}\,\mathrm{cm}. \]
La formule de l’aire d’un triangle est :
\[ \mathcal{A} = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}. \]
Ici, la base est \(AB = 8\,\mathrm{cm}\) et la hauteur est \(CH = 4\sqrt{3}\,\mathrm{cm}\). On obtient :
\[ \mathcal{A} = \frac{8 \times 4\sqrt{3}}{2} = \frac{32\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2. \]
L’aire du triangle équilatéral de côté \(8\,\mathrm{cm}\) vaut \[16\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2.\]