Exercice 33

Un rectangle a une longueur qui est le double de sa largeur. Son périmètre est de 54 cm. Déterminer ses dimensions puis calculer son aire.

Réponse

\(\text{Largeur}=9\:\text{cm},\ \text{Longueur}=18\:\text{cm},\ \text{Aire}=162\:\text{cm}^2\)

Corrigé détaillé

Rappel des formules

Périmètre d’un rectangle

Le périmètre \(P\) d’un rectangle est la somme de tous ses côtés :
\[P = 2\times(\text{longueur} + \text{largeur})\]

Aire d’un rectangle

L’aire \(A\) d’un rectangle s’obtient en multipliant la longueur par la largeur :
\[A = \text{longueur} \times \text{largeur}\]

Résolution pas à pas

1. Relation entre la longueur et la largeur
   • On sait que la longueur est le double de la largeur.
     
   • Si on note la largeur par \(L\), alors la longueur est \(2\times L\).
2. Expression du périmètre en fonction de la largeur
   • En remplaçant dans la formule du périmètre :
     \[P = 2\times(2L + L) = 2\times(3L) = 6L\]
   • Or on donne \(P = 54\:\text{cm}\), donc on a six fois la largeur qui vaut 54.
3. Calcul de la largeur
   • Pour trouver \(L\), on divise 54 par 6 :
     \[L = \tfrac{54}{6} = 9\:\text{cm}\]
4. Calcul de la longueur
   • La longueur est le double de la largeur :
     \[\text{longueur} = 2 \times 9 = 18\:\text{cm}\]
5. Calcul de l’aire
   • On utilise la formule de l’aire :
     \[A = \text{longueur} \times \text{largeur} = 18 \times 9 = 162\:\text{cm}^2\]

Résultats

• Largeur : \(9\:\text{cm}\)
• Longueur : \(18\:\text{cm}\)
• Aire : \(162\:\text{cm}^2\)

Ainsi, les dimensions du rectangle sont 9 cm sur 18 cm et son aire est 162 cm².