La diagonale d’un rectangle mesure 13 cm et sa longueur est de 12 cm. Calculer sa largeur.
La largeur du rectangle est \(5\ \text{cm}\).
On dispose d’un rectangle dont la diagonale mesure 13 cm et la longueur 12 cm. L’objectif est de déterminer sa largeur.
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. On l’écrit symboliquement : \[ \text{(hypoténuse)}^2 = \text{(côté 1)}^2 + \text{(côté 2)}^2. \]
En considérant la diagonale du rectangle comme hypoténuse et les côtés comme les deux autres côtés du triangle rectangle, on a : - Hypoténuse : 13 cm → son carré vaut \(13^2 = 169\). - Longueur : 12 cm → son carré vaut \(12^2 = 144\). - Largeur : notée \(L\), son carré reste à déterminer.
Selon le théorème de Pythagore, la somme du carré de la longueur et du carré de la largeur doit être le carré de la diagonale. En conséquence : - carré de la longueur : 144 - carré de l’hypoténuse : 169
Le carré de la largeur correspond à la différence entre 169 et 144 : \[ \text{(largeur)}^2 = 169 - 144 = 25. \]
Le seul nombre positif dont le carré est 25 est 5, car \(5^2 = 25\). Ainsi la largeur du rectangle mesure 5 cm.
La largeur recherchée est de 5 cm.