Un nombre de trois chiffres s’écrit \(\overline{a5b}\). Pour quelles valeurs de \(a\) et \(b\) ce nombre est-il divisible par 3 ?
Le nombre \(\overline{a5b}\) est divisible par 3 si et seulement si \[ a+b\equiv1\pmod{3}. \]
Un nombre entier est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
Le nombre \(\overline{a5b}\) a pour chiffres \(a\), \(5\) et \(b\). Sa divisibilité par 3 dépend donc de la somme \[ S = a + 5 + b. \]
On veut que \(S\) soit multiple de 3. Or, dans l’arithmétique modulo 3, on note : - \(5\) laisse le même reste que \(2\) lorsqu’on le divise par 3, car \(5 = 3 + 2\).
Donc : \[ 5\equiv 2\pmod{3}. \]
Ainsi \[ S = a + 5 + b\quad\Longrightarrow\quad S\equiv a + 2 + b\pmod{3}. \] Pour que \(S\) soit un multiple de 3, on doit avoir \[ a + 2 + b\equiv 0\pmod{3} \] ce qui revient à \[ a + b\equiv -2\equiv 1\pmod{3}. \]
On cherche donc tous les chiffres \(a\in\{1,2,\dots,9\}\) et \(b\in\{0,1,\dots,9\}\) tels que \[ a + b\equiv1\pmod{3}. \] On peut organiser les possibilités selon les restes de \(a\) modulo 3 : - Si \(a\equiv0\pmod{3}\) (c’est-à-dire \(a\in\{3,6,9\}\)), alors il faut \(b\equiv1\pmod{3}\) (c’est-à-dire \(b\in\{1,4,7\}\)). - Si \(a\equiv1\pmod{3}\) (c’est-à-dire \(a\in\{1,4,7\}\)), alors il faut \(b\equiv0\pmod{3}\) (c’est-à-dire \(b\in\{0,3,6,9\}\)). - Si \(a\equiv2\pmod{3}\) (c’est-à-dire \(a\in\{2,5,8\}\)), alors il faut \(b\equiv2\pmod{3}\) (c’est-à-dire \(b\in\{2,5,8\}\)).
On en déduit les 27 solutions : - a \(=1,4,7\) et b \(=0,3,6,9\) - a \(=2,5,8\) et b \(=2,5,8\) - a \(=3,6,9\) et b \(=1,4,7\)
Par exemple : \((a,b)=(1,0),(1,3),(1,6),(1,9),(2,2),\dots,(9,7)\).
Ainsi, le nombre \(\overline{a5b}\) est divisible par 3 si et seulement si \[ a+b\equiv1\pmod{3}. \]