Trouver tous les diviseurs communs à 84 et 96.
\(\{1,2,3,4,6,12\}\)
On cherche tous les entiers positifs qui divisent à la fois 84 et 96.
Un entier \(d\) est un diviseur d’un entier \(n\) s’il existe un entier \(k\) tel que \[ n = d \times k. \]
Un nombre \(d\) divisant à la fois
84 et 96 doit s’écrire à partir des mêmes facteurs premiers 2, 3 et 7
:
\[
d = 2^a \times 3^b \times 7^c
\] avec - \(0 \le a \le \min(2,5) =
2\)
- \(0 \le b \le \min(1,1) = 1\)
- \(0 \le c \le \min(1,0) = 0\) (car 7
n’apparaît pas dans 96)
En faisant varier \(a\) et \(b\) dans ces limites, on obtient :
- \(a=0, b=0\) : \(2^0 \times 3^0 = 1\)
- \(a=1, b=0\) : \(2^1 \times 3^0 = 2\)
- \(a=2, b=0\) : \(2^2 \times 3^0 = 4\)
- \(a=0, b=1\) : \(2^0 \times 3^1 = 3\)
- \(a=1, b=1\) : \(2^1 \times 3^1 = 6\)
- \(a=2, b=1\) : \(2^2 \times 3^1 = 12\)
On en déduit la liste suivante :
\[
1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;12
\]
Le plus grand commun diviseur (PGCD) de 84 et 96 est 12. Les diviseurs de 12 sont précisément ceux que nous avons énumérés.
Les diviseurs communs à 84 et 96 sont donc : 1, 2, 3, 4, 6 et 12.