Exercice 25

Trouver tous les diviseurs de 72.

Réponse

\(\{1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72\}\)

Corrigé détaillé

Définition d’un diviseur

Un entier positif \(d\) est un diviseur de 72 si, lorsqu’on divise 72 par \(d\), le reste est zéro. Autrement dit, il existe un entier \(k\) tel que :

\[ 72 = d \times k. \]

Décomposition de 72 en facteurs premiers

Pour trouver tous les diviseurs de 72, on commence par écrire 72 comme produit de nombres premiers.

1. On divise par 2 tant que c’est possible :
   • 72 ÷ 2 = 36
   • 36 ÷ 2 = 18
   • 18 ÷ 2 = 9 Ici, on ne peut plus diviser par 2 car 9 n’est pas pair.
2. On divise par 3 tant que c’est possible :
   • 9 ÷ 3 = 3
   • 3 ÷ 3 = 1 On s’arrête lorsque l’on obtient 1.

En regroupant, on a :

\[ 72 = 2^3 \times 3^2. \]

Construction de tous les diviseurs

Théorème : Si un nombre \(n\) se décompose en facteurs premiers comme \(n = p^a \times q^b\), alors tout diviseur de \(n\) s’écrit de la forme

\[ p^i \times q^j \]

avec \(0 \le i \le a\) et \(0 \le j \le b\).

Ici, pour 72 : - le premier facteur premier est \(2\) avec l’exposant \(a = 3\), - le second facteur premier est \(3\) avec l’exposant \(b = 2\).

On va donc prendre tous les exposants possibles : - \(i = 0,1,2,3\) - \(j = 0,1,2\)

Calcul des produits

Pour chaque couple \((i,j)\), on calcule \(2^i \times 3^j\) :

• i = 0, j = 0 : \(2^0×3^0 = 1\)

• i = 1, j = 0 : \(2^1×3^0 = 2\)

• i = 2, j = 0 : \(2^2×3^0 = 4\)

• i = 3, j = 0 : \(2^3×3^0 = 8\)

• i = 0, j = 1 : \(2^0×3^1 = 3\)

• i = 1, j = 1 : \(2^1×3^1 = 6\)

• i = 2, j = 1 : \(2^2×3^1 = 12\)

• i = 3, j = 1 : \(2^3×3^1 = 24\)

• i = 0, j = 2 : \(2^0×3^2 = 9\)

• i = 1, j = 2 : \(2^1×3^2 = 18\)

• i = 2, j = 2 : \(2^2×3^2 = 36\)

• i = 3, j = 2 : \(2^3×3^2 = 72\)

Liste finale des diviseurs

En classant les résultats par ordre croissant, on obtient tous les diviseurs de 72 :

\[ 1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;8,\;9,\;12,\;18,\;24,\;36,\;72. \]