Exercice 20

Trouver tous les diviseurs de 60.

Réponse

Les diviseurs de 60 sont : \[1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6,\;10,\;12,\;15,\;20,\;30,\;60\]

Corrigé détaillé

Introduction

Un diviseur d’un nombre entier est un nombre entier qui, lorsqu’il divise ce nombre, donne un quotient entier sans reste. Pour trouver tous les diviseurs de 60, nous allons procéder en deux grandes étapes : la décomposition en facteurs premiers, puis l’énumération des combinaisons de ces facteurs.

Étape 1 : Décomposition en facteurs premiers

1. On cherche les plus petits nombres premiers qui divisent 60 :

   • 60 est pair, donc divisible par 2 : 60 ÷ 2 = 30
   • 30 est encore pair, donc divisible par 2 : 30 ÷ 2 = 15
   • 15 n’est plus pair, on essaie le nombre premier suivant, 3 : 15 ÷ 3 = 5
   • 5 est un nombre premier, donc 5 ÷ 5 = 1

2. On en déduit la décomposition en facteurs premiers sous forme de produit de puissances :

   \[ 60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \]

Étape 2 : Construction de tous les diviseurs

Pour obtenir chaque diviseur de 60, on prend un produit de la forme

\[ 2^a \times 3^b \times 5^c \]

avec :
- a pouvant valoir 0, 1 ou 2
- b valant 0 ou 1
- c valant 0 ou 1

On calcule toutes les combinaisons possibles :
- Pour a = 0 : on a 1
- Pour a = 1 : on a 2
- Pour a = 2 : on a 4

• Pour b = 0 : on a 1
  

• Pour b = 1 : on a 3

• Pour c = 0 : on a 1
  

• Pour c = 1 : on a 5

En multipliant trois termes (un de chaque famille selon a, b, c), on obtient tous les diviseurs :

a	b	c	Produit
0	0	0	1 × 1 × 1 = 1
1	0	0	2 × 1 × 1 = 2
2	0	0	4 × 1 × 1 = 4
0	1	0	1 × 3 × 1 = 3
1	1	0	2 × 3 × 1 = 6
2	1	0	4 × 3 × 1 = 12
0	0	1	1 × 1 × 5 = 5
1	0	1	2 × 1 × 5 = 10
2	0	1	4 × 1 × 5 = 20
0	1	1	1 × 3 × 5 = 15
1	1	1	2 × 3 × 5 = 30
2	1	1	4 × 3 × 5 = 60

Résultat final

En rangeant ces nombres par ordre croissant, on obtient tous les diviseurs positifs de 60 :

\[ 1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6,\;10,\;12,\;15,\;20,\;30,\;60. \]

Ainsi, l’exercice est terminé : nous avons énuméré tous les diviseurs de 60.