Un professeur veut répartir 144 cahiers et 180 stylos en paquets identiques (même nombre de cahiers et même nombre de stylos dans chaque paquet). Quel est le nombre maximum de paquets qu’il peut former ?
\(36\)
Le professeur dispose de 144 cahiers et 180 stylos. Il souhaite constituer des paquets identiques, c’est-à-dire contenant le même nombre de cahiers et le même nombre de stylos. Pour maximiser le nombre de paquets, on doit trouver la taille la plus grande possible des paquets, soit le plus grand entier qui divise à la fois 144 et 180.
Le PGCD de deux entiers naturels est le plus grand entier qui divise ces deux nombres sans laisser de reste.
On applique la division euclidienne de manière répétée : 1. Diviser le plus grand nombre par le plus petit. 2. Prendre le reste de la division. 3. Remplacer le plus grand nombre par l’ancien plus petit et le plus petit par le reste. 4. Répéter jusqu’à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.
Application : - \(180\) divisé par \(144\) donne un quotient de \(1\) et un reste de \(36\), car \(180 - 144 \times 1 = 36\). - On remplace \(180\) par \(144\) et \(144\) par \(36\). - \(144\) divisé par \(36\) donne un quotient de \(4\) et un reste de \(0\), car \(144 - 36 \times 4 = 0\). - Le reste est nul, donc le PGCD est le dernier reste non nul, c’est-à-dire \(36\).
Le nombre maximum de paquets qu’on peut former en ayant des paquets identiques est le PGCD de \(144\) et \(180\), soit 36. Chaque paquet contiendra alors : - \(144 \div 36 = 4\) cahiers - \(180 \div 36 = 5\) stylos