Exercice 26

Combien de nombres compris entre 1 et 1000 sont divisibles à la fois par 4 et par 5 ?

Réponse

\(50\)

Corrigé détaillé

Comprendre le problème

On cherche combien d’entiers entre 1 et 1000 sont divisibles à la fois par 4 et par 5.

1. Trouver le plus petit commun multiple

Le plus petit commun multiple (PPCM) de 4 et de 5 est le plus petit nombre qui est à la fois multiple de 4 et de 5. On constate que 4 multiplié par 5 donne 20. Aucun plus petit nombre n’est multiple à la fois de 4 et de 5. Le PPCM de 4 et de 5 vaut donc 20.

2. Traduction en multiples de 20

Tout entier divisible par 4 et par 5 est nécessairement un multiple de 20. Pour compter ceux qui se trouvent entre 1 et 1000, on regarde les multiples de 20 dans cet intervalle : 20, 40, 60, …, 1000.

3. Compter les multiples sans équation formelle

• On répartit les entiers de 1 à 1000 en paquets successifs de 20 : chaque paquet contient exactement un multiple de 20.
• Pour couvrir les 1000 premiers entiers, on forme autant de paquets que possible.
• Réaliser mentalement ou sur papier la division de 1000 par 20 montre qu’on obtient 50 paquets.

Il y a donc 50 multiples de 20, c’est-à-dire 50 nombres compris entre 1 et 1000 divisibles à la fois par 4 et par 5.

4. Conclusion

Le nombre recherché est 50.