Un nombre s’écrit \(\overline{7a8}\) où \(a\) est un chiffre inconnu. Pour quelle(s) valeur(s) de \(a\) ce nombre est-il divisible par 4 ?
\(a\in\{0,2,4,6,8\}\)
L’exercice demande de déterminer pour quelles valeurs de \(a\) le nombre \(\overline{7a8}\) est divisible par 4.
Un nombre entier est divisible par 4 si et seulement si les deux derniers chiffres du nombre forment un nombre divisible par 4.
On considère les deux derniers chiffres du nombre \(\overline{7a8}\), c’est-à-dire le nombre à deux chiffres : \[ \overline{a8} = 10a + 8 \] Ce nombre est divisible par 4 si : \[ 10a + 8 \equiv 0 \pmod{4} \] Or \(10 \equiv 2 \pmod{4}\) et \(8 \equiv 0 \pmod{4}\), donc : \[ 2a + 0 \equiv 0 \pmod{4} \] Ce qui donne : \[ 2a \equiv 0 \pmod{4} \] Un nombre pair multiplié par 2 est divisible par 4 si et seulement si ce nombre est pair, donc \(a\) doit être pair. Les chiffres pairs sont : \[ a \in \{0,2,4,6,8\} \]
Les valeurs possibles de \(a\) pour que le nombre \(\overline{7a8}\) soit divisible par 4 sont : \[ a \in \{0,2,4,6,8\} \]