Exercice 31

Trouver le plus petit nombre naturel non nul qui admet exactement 6 diviseurs.

Réponse

\(12\)

Corrigé détaillé

Introduction

Dans cet exercice, nous voulons déterminer le plus petit entier naturel non nul qui possède exactement 6 diviseurs.

1. Le théorème du nombre de diviseurs

Tout nombre \(n\) se décompose en produit de puissances de nombres premiers sous la forme \[ n = p_1^{\alpha_1}\,p_2^{\alpha_2}\,\cdots\,p_k^{\alpha_k}. \] Alors le nombre de diviseurs de \(n\) est \[ d(n) = (\alpha_1+1)\times(\alpha_2+1)\times\cdots\times(\alpha_k+1). \]

2. Recherche de cas possibles

Nous voulons que \(d(n)=6\). Pour obtenir 6 comme produit d’entiers positifs, on peut avoir : - 6 seul, - 2 × 3, - 1 × 6.

2.1 Un seul facteur premier

Si \(n = p^5\), alors on compte \(5+1=6\) diviseurs. Le plus petit tel nombre est \(2^5 = 32\).

2.2 Deux facteurs premiers

On cherche \((\alpha_1+1)\times(\alpha_2+1)=2\times3\) (ou l’inverse). Les exposants sont donc 1 et 2. Avec les deux plus petits nombres premiers 2 et 3, on obtient : - \(2^2\times3^1 = 12\), - \(2^1\times3^2 = 18\).

2.3 Trois facteurs premiers

Si \(n = pqr\) avec trois nombres premiers distincts, on a \((1+1)^3 = 8\) diviseurs, ce qui ne convient pas.

3. Choix du plus petit nombre

Les candidats trouvés sont 32, 12 et 18. Le plus petit est \(12\).

4. Vérification

Les diviseurs de 12 sont \[ 1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;12 \] soit exactement 6 diviseurs.

Conclusion

Le plus petit nombre naturel non nul avec exactement six diviseurs est \(12\).