Exercice 14

Trouver tous les diviseurs de 48.

Réponse

\[1,2,3,4,6,8,12,16,24,48\]

Corrigé détaillé

Décomposition en facteurs premiers

Pour trouver tous les diviseurs, on commence par décomposer 48 en facteurs premiers. On remarque que 48 est divisible par 2.
\(48 = 2 \times 24\).
Puis \(24 = 2 \times 12\), \(12 = 2 \times 6\), \(6 = 2 \times 3\) et 3 est premier.
Ainsi la décomposition en facteurs premiers est
\[ 48 = 2^4 \times 3^1 \].

Construction des diviseurs

Tout diviseur de 48 doit pouvoir s’écrire sous la forme \(2^a \times 3^b\) avec les exposants \(a\) et \(b\) entiers tels que
\[ 0 \le a \le 4 \quad\text{et}\quad 0 \le b \le 1. \] On liste toutes les combinaisons possibles :

• Pour \(b=0\), on obtient \(2^0,2^1,2^2,2^3,2^4\), soit respectivement 1, 2, 4, 8, 16.
  
• Pour \(b=1\), on multiplie chaque puissance de 2 par 3, ce qui donne 3, 6, 12, 24, 48.

Liste finale

En triant ces valeurs par ordre croissant, on trouve :
\[ 1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;8,\;12,\;16,\;24,\;48. \] Chaque nombre de cette liste divise 48 sans reste, et tout diviseur de 48 apparaît dans cette liste.