Exercice 33
Démontrer qu’un nombre est divisible par 11 si la différence entre la
somme de ses chiffres de rang impair et la somme de ses chiffres de rang
pair est divisible par 11. Vérifier avec le nombre 2728.
Réponse
Oui, \(2728\) est divisible par
\(11\) car \((8 + 7) - (2 + 2) = 11\), donc \(2728 = 11 \times 248\).
Corrigé détaillé
Présentation du
critère de divisibilité par 11
Un nombre entier est divisible par 11 si la différence entre la somme
de ses chiffres de rang impair et la somme de ses chiffres de rang pair
est un multiple de 11.
Pourquoi ce critère
fonctionne-t-il ?
- En base 10, tout nombre s’écrit comme : \[
N = d_n\,10^{n-1} + d_{n-1}\,10^{n-2} + \cdots + d_2\,10 + d_1,
\] où chaque \(d_i\) est un
chiffre.
- On sait que \(10 \equiv -1 \;
(\bmod\;11)\). Donc pour chaque puissance de 10 : \[
10^k \equiv (-1)^k \; (\bmod\;11).
\]
- Si l’on regroupe les termes selon la parité de l’exposant, on
obtient que \[
N \equiv d_1 - d_2 + d_3 - d_4 + \cdots \; (\bmod\;11).
\] Autrement dit, la différence entre la somme des chiffres de
rang impair et celle des chiffres de rang pair donne le reste de la
division de \(N\) par 11.
Application au nombre 2728
- On numérote les chiffres en partant de l’unité :
- \(d_1 = 8\) (rang 1 impair)
- \(d_2 = 2\) (rang 2 pair)
- \(d_3 = 7\) (rang 3 impair)
- \(d_4 = 2\) (rang 4 pair)
- Somme des chiffres de rang impair : \[
S_{\text{impair}} = d_1 + d_3 = 8 + 7 = 15.
\]
- Somme des chiffres de rang pair : \[
S_{\text{pair}} = d_2 + d_4 = 2 + 2 = 4.
\]
- On calcule la différence : \[
S_{\text{impair}} - S_{\text{pair}} = 15 - 4 = 11.
\]
- Comme \(11\) est un multiple de
\(11\), le nombre \(2728\) est divisible par \(11\).
Pour s’assurer, on peut vérifier que \[
2728 = 11 \times 248.
\]
Conclusion
Le critère est bien vérifié : la différence vaut 11, donc 2728 est
divisible par 11.