Exercice 7

Trouver tous les diviseurs de 18.

Réponse

\[\{1,2,3,6,9,18\}\]

Corrigé détaillé

Définition et objectif

Un diviseur d’un nombre entier positif est un entier qui le divise sans laisser de reste. L’objectif est de déterminer tous les entiers positifs d tels que 18 soit divisible par d.

Étape 1 : Tester les petits candidats

Pour trouver les diviseurs de 18, on teste successivement les entiers de 1 à 18 : - On vérifie que le reste de la division de 18 par le candidat est nul. - Si le reste est nul, le candidat est un diviseur.

Candidat d	18 ÷ d	Reste	Diviseur ?
1	18	0	Oui
2	9	0	Oui
3	6	0	Oui
4	4,5	2	Non
5	3,6	3	Non
6	3	0	Oui
7	2,57	4	Non
8	2,25	2	Non
9	2	0	Oui
10 à 17	…	≠0	Non
18	1	0	Oui

On retient donc les candidats qui ont laissé un reste nul : 1, 2, 3, 6, 9 et 18.

Étape 2 : Vérification par décomposition en facteurs premiers

1. On écrit 18 en produits de nombres premiers : \[ 18 = 2 \times 9 = 2 \times 3^2 \]
2. Pour obtenir tous les diviseurs d’un nombre de la forme \(p^a\times q^b\), on prend pour chaque exposant k de 0 à a (pour p) et de 0 à b (pour q) toutes les combinaisons : \[ d = 2^i \times 3^j \quad\text{où } i\in\{0,1\},\; j\in\{0,1,2\}. \]
3. On calcule chaque combinaison :
   • \(i=0,j=0\) : \(2^0\times3^0 = 1\)
   • \(i=1,j=0\) : \(2^1\times3^0 = 2\)
   • \(i=0,j=1\) : \(2^0\times3^1 = 3\)
   • \(i=1,j=1\) : \(2^1\times3^1 = 6\)
   • \(i=0,j=2\) : \(2^0\times3^2 = 9\)
   • \(i=1,j=2\) : \(2^1\times3^2 = 18\)

Ces résultats confirment la liste trouvée précédemment.

Conclusion

Les diviseurs positifs de 18 sont :

\[ \{1,2,3,6,9,18\} \]