Combien y a-t-il de diviseurs pour le nombre 100 ? Les lister tous.
100 a \(9\) diviseurs : \(1,2,4,5,10,20,25,50,100\).
Dans cet exercice, nous allons déterminer tous les diviseurs du nombre 100 et expliquer pas à pas comment y parvenir.
Un diviseur d’un nombre entier est un nombre entier qui le divise sans laisser de reste.
Pour trouver les diviseurs de 100, on commence par décomposer 100 en produits de nombres premiers. On cherche les plus petits diviseurs premiers : 2 et 5.
On constate que 100 est pair, donc divisible par 2 à plusieurs reprises : 100 = 2 × 50, puis 50 = 2 × 25. Ensuite 25 = 5 × 5.
On a donc la décomposition en facteurs premiers suivante :
\[ 100 = 2^2 \times 5^2 \]
Si un nombre entier se décompose en \[ n = p^a \times q^b \] avec p et q premiers, alors le nombre total de diviseurs de n se calcule par la formule :
\[ (a + 1) \times (b + 1) \]
Ici, pour 100, on a a = 2 et b = 2. Donc le nombre de diviseurs est :
\[ (2 + 1) \times (2 + 1) = 3 \times 3 = 9 \]
Chaque diviseur de 100 s’obtient en combinant une puissance de 2 (allant de 0 à 2) et une puissance de 5 (allant de 0 à 2) :
On trouve ainsi exactement 9 diviseurs.
Le nombre 100 possède 9 diviseurs, qui sont :
\[ 1,\;2,\;4,\;5,\;10,\;20,\;25,\;50,\;100 \]