On considère le nombre 123456. Déterminer s’il est divisible par 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 et 10. Justifier chaque réponse.
\[ 2:\text{ oui},\;3:\text{ oui},\;4:\text{ oui},\;5:\text{ non},\;6:\text{ oui},\;8:\text{ oui},\;9:\text{ non},\;10:\text{ non} \]
Dans cet exercice, nous examinons la divisibilité du nombre 123456 par plusieurs entiers. Pour chaque cas, nous appliquons le critère de divisibilité adapté, puis nous concluons si 123456 est divisible ou non par ces nombres.
Le chiffre des unités de 123456 est 6, qui est un nombre pair.
Donc, selon le critère :
\[
123456\div 2\text{ est un entier.}
\]
Conclusion : 123456 est divisible par 2.
Calculons la somme des chiffres :
\[
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.
\]
Or, 21 est un multiple de 3 (puisque \(21 = 3
\times 7\)).
Donc, 123456 est divisible par 3.
On regarde les deux derniers chiffres de 123456, c’est 56.
Comme \(56 = 4 \times 14\), 56 est
divisible par 4.
Donc, 123456 est divisible par 4.
Le chiffre des unités de 123456 est 6.
Or, pour être divisible par 5, il faudrait que ce soit 0 ou 5.
Ce n’est pas le cas ici.
Donc, 123456 n’est pas divisible par 5.
Un nombre est divisible par 6 si et seulement s’il est divisible par
2 et par 3 en même temps.
Nous avons montré qu’il l’est pour 2 et pour 3.
Donc, 123456 est divisible par 6.
On considère les trois derniers chiffres de 123456, c’est 456.
On vérifie : 456 ÷ 8 = 57 exactement (car \(8
\times 57 = 456\)).
Donc, 123456 est divisible par 8.
On reprend la somme des chiffres :
\[
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.
\]
Pour être divisible par 9, 21 devrait être un multiple de 9. Or, 21 ÷ 9
= 2,333… pas un entier.
Donc, 123456 n’est pas divisible par 9.
Le chiffre des unités de 123456 est 6.
Pour être divisible par 10, il faudrait que ce soit 0.
Ce n’est pas le cas ici.
Donc, 123456 n’est pas divisible par 10.
En résumé : - Divisible par 2, 3, 4, 6 et 8.
- Non divisible par 5, 9 et 10.
Nous avons appliqué à chaque fois le critère de divisibilité adapté, ce qui permet de répondre clairement à la question.