Trouver le plus grand diviseur commun à 24 et 30 (sans utiliser la méthode du PGCD).
\(6\)
Dans cet exercice, nous cherchons le plus grand nombre qui divise à la fois 24 et 30. Ce nombre est appelé le plus grand commun diviseur (PGCD), mais nous allons le déterminer en listant les diviseurs de chaque nombre plutôt qu’en appliquant une méthode algébrique (comme l’algorithme d’Euclide).
Un entier d est un diviseur d’un entier n si, lorsqu’on divise n par d, le reste est zéro. On note que d divise n.
Pour trouver tous les diviseurs de 24, on teste les entiers à partir de 1 jusqu’à 24 et on retient ceux qui divisent sans reste :
\[ \text{Diviseurs de }24 : \{1,\,2,\,3,\,4,\,6,\,8,\,12,\,24\} \]
De la même manière, on trouve :
\[ \text{Diviseurs de }30 : \{1,\,2,\,3,\,5,\,6,\,10,\,15,\,30\} \]
On compare les deux listes et on retient les nombres qui apparaissent dans les deux :
\[ \text{Diviseurs communs} : \{1,\,2,\,3,\,6\} \]
Pour être sûr de n’en oublier aucun, on peut cocher chaque nombre en même temps dans les deux listes ou utiliser un schéma en colonnes.
Parmi les diviseurs communs \(\{1,2,3,6\}\), le plus grand est \(6\). C’est donc le plus grand commun diviseur de 24 et de 30.
Le PGCD de 24 et 30 est :
\[ \boxed{6} \]
Cette méthode, fondée sur le simple repérage des diviseurs, est très pédagogique pour bien comprendre la notion de « diviseur » avant d’aborder des techniques plus abstraites comme l’algorithme d’Euclide.