Trouver tous les nombres de trois chiffres de la forme \(\overline{4a6}\) qui sont divisibles à la fois par 4 et par 9.
\(\text{Aucune solution}\)
Un nombre est divisible par 4 si et seulement si ses deux derniers
chiffres forment un multiple de 4.
Ici, notre nombre est de la forme \(4a6\), où \(a\) est un chiffre (de 0 à 9).
Les deux derniers chiffres sont donc \(10a+6\).
Testons les valeurs de \(a\) de 0 à
9 :
- \(a=0\) : \(06\) n’est pas multiple de 4
- \(a=1\) : \(16\) est multiple de 4
- \(a=2\) : \(26\) n’est pas multiple de 4
- \(a=3\) : \(36\) est multiple de 4
- \(a=4\) : \(46\) n’est pas multiple de 4
- \(a=5\) : \(56\) est multiple de 4
- \(a=6\) : \(66\) n’est pas multiple de 4
- \(a=7\) : \(76\) est multiple de 4
- \(a=8\) : \(86\) n’est pas multiple de 4
- \(a=9\) : \(96\) est multiple de 4
Les valeurs de \(a\) qui satisfont cette condition sont donc \(1,3,5,7,9\).
Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses
chiffres est un multiple de 9.
Pour le nombre \(4a6\), la somme des
chiffres vaut
\[ 4 + a + 6 = 10 + a. \]
Parmi les valeurs possibles de \(a\)
(c’est-à-dire \(1,3,5,7,9\)), on
cherche celles pour lesquelles \(10+a\)
est un multiple de 9 :
- \(a=1\) : \(10+1=11\) non
- \(a=3\) : \(10+3=13\) non
- \(a=5\) : \(10+5=15\) non
- \(a=7\) : \(10+7=17\) non
- \(a=9\) : \(10+9=19\) non
Aucune de ces sommes n’est un multiple de 9.
Il n’existe aucun chiffre \(a\)
entre 0 et 9 tel que le nombre \(4a6\)
soit divisible à la fois par 4 et par 9.
En conséquence, il n’y a pas de nombre de la forme
\(\overline{4a6}\) satisfaisant les
deux conditions.