Exercice 19
Un nombre est divisible par 2 et par 3. Est-il nécessairement
divisible par 6 ? Justifier.
Réponse
\(\text{Oui, tout entier divisible par 2 et
par 3 est également divisible par 6 (car
}\mathrm{ppcm}(2,3)=6\text{).}\)
Corrigé détaillé
Contexte et objectif
L’objectif est de montrer qu’un entier qui se répartit sans reste en
deux paquets et aussi en trois paquets se répartit nécessairement sans
reste en six paquets.
Rappel de la notion de
divisibilité
- Un entier est divisible par 2 si on peut le partager en 2 paquets
égaux sans rien laisser.
- Un entier est divisible par 3 si on peut le partager en 3 paquets
égaux sans reste.
Méthode 1
: utilisation du plus petit commun multiple (PPCM)
- On note que 2 et 3 sont des nombres premiers entre eux (ils n’ont
pas de diviseur commun autre que 1).
- Pour deux nombres premiers entre eux, leur plus petit commun
multiple est simplement leur produit.
Ainsi, ((2,3)=2=6.
- Si un entier se répartit sans reste en paquets de 2 et en paquets de
3, il se répartit aussi en paquets de taille égale à leur ppcm,
c’est-à-dire 6.
Conclusion de la méthode 1 : tout entier divisible
par 2 et par 3 est divisible par 6.
Méthode 2 :
argument par les facteurs premiers
- Le nombre 2 et le nombre 3 sont chacun un facteur premier.
- Un entier divisible par 2 contient donc le facteur 2. Un entier
divisible par 3 contient le facteur 3.
- Pour contenir à la fois les facteurs 2 et 3, cet entier doit
contenir le produit de ces deux facteurs, soit 6.
Conclusion de la méthode 2 : à tout nombre divisible
par 2 et par 3 correspond un multiple de 6.
Résultat final
Un entier divisible par 2 et par 3 est nécessairement divisible par
6.