Exercice 30

Partager un segment \([AB]\) de 12 cm en trois parties égales en utilisant le théorème de Thalès (construction graphique).

Réponse

Chaque segment mesure \(4\text{ cm}\).

Corrigé détaillé

Introduction

Dans cet exercice, nous allons partager le segment [AB] de longueur 12 cm en trois parties égales en utilisant le théorème de Thalès et la construction à la règle et au compas.

Matériel nécessaire

• Une règle graduée
• Un compas
• Une équerre ou une règle-coupe pour tracer des parallèles

Rappel du théorème de Thalès

Dans un triangle, si l’on trace des droites parallèles à l’un des côtés, alors elles coupent les deux autres côtés en des points qui déterminent des segments proportionnels.

Construction pas à pas

1. Tracer le segment [AB]

Sur la feuille, tracez le segment [AB] de longueur 12 cm à l’aide de la règle.

2. Tracer un rayon à partir de A

À la pointe A, tracez un demi‐rayon \(r\) formant un angle quelconque avec [AB].

3. Reporter trois segments égaux sur le rayon

Avec le compas, choisissez une ouverture quelconque. À partir de A : - Placez l’ouverture du compas sur A et marquez un premier point \(B_1\) sur \(r\).
- Sans changer l’ouverture, placez la pointe sur \(B_1\) et marquez un second point \(B_2\).
- Encore une fois, reportez cette distance pour obtenir \(B_3\).
Vous obtenez ainsi trois segments consécutifs égaux :
\[AB_1 = B_1B_2 = B_2B_3.\]

4. Relier \(B_3\) à \(B\)

Tracez la droite \((B_3B)\).

5. Tracer les parallèles à \((B_3B)\)

• À partir de \(B_1\), tracez une droite parallèle à \((B_3B)\) jusqu’à ce qu’elle coupe [AB] en un point que nous nommerons \(P\).
  
• De même, tracez la droite passant par \(B_2\) et parallèle à \((B_3B)\). Elle coupe [AB] en un point \(Q\).

6. Identification des points de division

Les points \(P\) et \(Q\) situés sur [AB] partagent ce segment en trois sous‐segments : - \([AP]\) - \([PQ]\) - \([QB]\)

Justification avec Thalès

Dans le triangle \(AB_3B\), les droites tracées par \(B_1\) et \(B_2\) sont parallèles à \((B_3B)\). D’après le théorème de Thalès, les points d’intersection \(P\) et \(Q\) sur [AB] divisent ce côté proportionnellement aux segments égaux reportés sur le rayon. Comme \(AB_1 = B_1B_2 = B_2B_3\), on obtient trois segments de même longueur sur [AB].

Conclusion

Les points \(P\) et \(Q\) construits ainsi partagent [AB] en trois parties égales. Par simple calcul, on vérifie que chacune mesure : \[ AP = PQ = QB = \frac{AB}{3} = \frac{12}{3} = 4\text{ cm}. \]