Exercice 24
Tracer un angle de 45° en utilisant uniquement le compas et la règle
(sans rapporteur).
Réponse
Tracer la perpendiculaire \(AC\) à
\(AB\) en \(A\), puis construire la bissectrice de
l’angle \(\angle CAB\). Cette
bissectrice mesure \(45^\circ\).
Corrigé détaillé
Principe de la construction
Pour obtenir un angle de 45°, on utilise deux constructions
classiques au compas et à la règle :
- Construire un angle droit (90°) en un point ;
- Bissecter cet angle droit, la moitié de 90° étant
45°.
Étapes détaillées
1.
Construction de la perpendiculaire en A à la droite AB
- Soit la droite contenant le segment AB et le point de départ A.
- Choisissez un rayon quelconque (noté r) et, avec le compas centré en
A, tracez deux arcs qui coupent AB en deux points D et E tels que AD =
AE = r.
- Avec le même rayon r, tracez deux arcs de cercles de centre D et E
qui se coupent en deux points F et G de part et d’autre de AB.
- Reliez A à l’un des points d’intersection (par exemple F). La droite
AF est alors perpendiculaire à AB (théorème de la
construction de la perpendiculaire à un point donné).
Vous obtenez ainsi l’angle droit \(\angle
BAF = 90^\circ\).
2. Bissecteur de l’angle
droit \(\angle BAF\)
- Choisissez un rayon (non nul) et, avec le compas centré en A, tracez
un arc qui coupe les deux demi-droites AB et AF en P et Q.
- Avec le même rayon, tracez deux arcs de cercles de centre P et Q :
ces arcs se coupent en un point M situé à l’intérieur de l’angle \(BAF\).
- Reliez A à M. La droite AM est la bissectrice de
l’angle \(\angle BAF\), donc \(\angle BAM = \angle MAF = 45^\circ\).
3. Vérification et conclusion
Par construction : \[
\angle BAF = 90^\circ
\quad\text{et}\quad
\angle BAM = \angle MAF = \tfrac12\times 90^\circ = 45^\circ.
\] La demi-droite AM forme donc bien un angle de 45° avec AB.
Remarque pédagogique : chaque étape est réalisée
sans rapporteur, uniquement avec la règle non
graduée (pour tracer des droites) et le compas
(pour reporter des distances et tracer des arcs). Cette méthode est
accessible dès la 9e HarmoS (Grade 7 US) et illustre la puissance des
constructions euclidiennes classiques.