Exercice 23

Construire un triangle isocèle \(ABC\) tel que \(AB = AC = 6\) cm et \(BC = 4\) cm.

Réponse

Tracer le segment \([BC]\) de longueur \(4\) cm. Tracer les cercles de centre \(B\) et \(C\) de rayon \(6\) cm. Leur intersection donne \(A\). Le triangle \(ABC\) ainsi obtenu a \(AB = AC = 6\) cm et \(BC = 4\) cm.

Corrigé détaillé

Construction pas à pas

1) Tracer la base \(BC\)

On trace le segment \([BC]\) de longueur \(4\) cm à l’aide de la règle.

2) Construction des cercles auxiliaires

Avec un compas, on trace : - le cercle de centre \(B\) et de rayon \(6\) cm, - le cercle de centre \(C\) et de rayon \(6\) cm.

Ces cercles sont définis par : \[ C_B = \{ M \mid BM = 6\},\quad C_C = \{ M \mid CM = 6\}. \]

3) Détermination du sommet \(A\)

Les deux cercles se coupent en deux points. On choisit l’un des deux points d’intersection et on le nomme \(A\).

4) Construction du triangle \(ABC\)

On relie \(A\) à \(B\) puis à \(C\). On obtient le triangle \(ABC\).

5) Justification

• Par construction, tout point de \(C_B\) est à \(6\) cm de \(B\), donc \(AB = 6\) cm.
• Par construction, tout point de \(C_C\) est à \(6\) cm de \(C\), donc \(AC = 6\) cm.
• On a tracé \(BC = 4\) cm.

Ainsi, le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\) avec \(AB = AC = 6\) cm et \(BC = 4\) cm.