Exercice 35
Tracer un triangle \(ABC\)
quelconque, construire son cercle inscrit (cercle tangent aux trois
côtés du triangle). Pour cela, tracer les trois bissectrices et
déterminer le centre du cercle inscrit.
Réponse
Le centre du cercle inscrit est le point d’intersection des trois
bissectrices des angles du triangle ABC, noté \(I\).
Corrigé détaillé
Présentation de l’exercice
On dispose d’un triangle quelconque \(ABC\). L’objectif est de construire son
cercle inscrit, c’est-à-dire le cercle tangent aux trois côtés du
triangle. Pour cela, on repère d’abord le centre du cercle inscrit,
appelé incentre et noté \(I\). Ce point est l’intersection des
bissectrices des trois angles du triangle.
1. Construction des
bissectrices
1.1. Bissectrice de l’angle
\(\widehat{BAC}\)
- Place la pointe sèche du compas en \(A\) et trace un arc de cercle qui coupe les
côtés \([AB]\) et \([AC]\) en deux points, que l’on appelle
\(E\) et \(F\).
- Sans modifier l’ouverture du compas, trace deux arcs de cercle
supplémentaires :
- Un arc centré en \(E\),
- Un arc centré en \(F\), de façon
qu’ils se coupent en un point \(G\)
situé à l’intérieur de l’angle.
- Trace la droite \(AG\). C’est la
bissectrice de l’angle \(\widehat{BAC}\). Elle partage cet angle en
deux angles de même mesure.
1.2. Bissectrice de l’angle
\(\widehat{ABC}\)
Répète exactement les mêmes étapes que pour l’angle \(A\) : 1. Trace un arc centré en \(B\) qui coupe \([BA]\) et \([BC]\), points d’intersection \(E'\) et \(F'\). 2. Avec la même ouverture, trace
deux arcs centrés en \(E'\) et
\(F'\) ; ils se coupent en \(G'\). 3. Trace la droite \(BG'\). C’est la bissectrice de \(\widehat{ABC}\).
2. Détermination de l’incentre
\(I\)
Les deux droites bissectrices précédemment tracées se coupent en un
point \(I\). On peut vérifier que la
troisième bissectrice (de \(\widehat{ACB}\)) passe également par ce
même point. Ce point \(I\) est le
centre du cercle inscrit.
3. Construction du cercle
inscrit
- À partir de \(I\), trace une
perpendiculaire à l’un des côtés, par exemple \([AB]\), en procédant comme suit :
- Avec le compas, trace un arc centré en \(I\) qui coupe \([AB]\) en deux points \(P\) et \(Q\).
- Sans changer l’ouverture, trace deux arcs, un centré en \(P\), l’autre en \(Q\), qui se coupent en \(R\).
- Trace la droite \(IR\),
perpendiculaire à \(AB\), qui coupe
\(AB\) au pied de la perpendiculaire
\(H\).
- La distance \(IH\) est le rayon du
cercle inscrit.
- Avec le compas centré en \(I\) et
ouverture \(IH\), trace le cercle. Il
est tangent à chacun des côtés \([AB]\), \([BC]\) et \([CA]\).
4. Pourquoi cela fonctionne-t-il
?
- Chaque bissectrice est l’ensemble des points équidistants des deux
côtés formant l’angle.
- Leur intersection \(I\) est donc
équidistante de tous les côtés du triangle.
- Le cercle de centre \(I\) et de
rayon cette distance est tangent à chaque côté.
Cette construction utilise uniquement la règle et le compas, respecte
les propriétés des bissectrices et garantit un tracé rigoureux du cercle
inscrit.